في الرياضيات ، يطلق على مجموعة فرعية من الفضاء الطوبولوجي أي مكان كثيفًا أو نادرًا إذا كان لإغلاقه مساحة داخلية فارغة. بمعنى فضفاض للغاية ، إنها مجموعة لا يتم تجميع عناصرها بإحكام في أي مكان. على سبيل المثال ، الأعداد الصحيحة ليست كثيفة في أي مكان بين القيم الحقيقية ، في حين أن الكرة المفتوحة ليست كذلك.
هل 1 N ليس في أي مكان كثيف؟
مثال على مجموعة غير مغلقة ولكنها لا تزال غير كثيفة في أي مكان هو {1n |
∈N}. لها نقطة حد واحدة ليست في المجموعة (أي 0) ، لكن إغلاقها لا يزال غير كثيف في أي مكان لأنه لا توجد فواصل زمنية مفتوحة تتناسب مع {1n | n∈N} ∪ {0}.
كيف تثبت أن المجموعة ليست كثيفة في أي مكان؟
يطلق على المجموعة الفرعية A ⊆ X أي مكان كثيفًا فيX إذا كان الجزء الداخلي من إغلاق A فارغًا، أي (A) ◦=∅. بخلاف ذلك ، لا يكون A كثيفًا في أي مكان إذا تم احتوائه في مجموعة مغلقة ذات مساحات داخلية فارغة. بالمرور إلى التكميلات ، يمكننا القول بشكل مكافئ أن A ليس كثيفًا في أي مكان إذا كان مكمله يحتوي على مجموعة مفتوحة كثيفة (لماذا؟).
ماذا تعني الكثافة في كل مكان؟
مجموعة فرعية أ من الفضاء الطوبولوجي X كثيفة بحيث يكونالإغلاق هو المساحة الكاملة X(يستخدم بعض المؤلفين المصطلحات في كل مكان كثيف). التعريف البديل الشائع هو: مجموعة أ تتقاطع مع كل مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة من X.
هل كل مجموعة كثيفة مفتوحة؟
الفضاء الطوبولوجي X متصل بشكل مفرط إذا وفقط إذا كانت كل مجموعة غير فارغةopenكثيفة في X. الفضاء الطوبولوجي هو دون الحد الأقصى إذا وفقط إذاكل مجموعة فرعية كثيفة مفتوحة.
